<t->
          Matemtica
          7 Ano 
          Ensino Fundamental

          Edwaldo Bianchini          

          Impresso Braille em 8 partes, 
          na diagramao de 28 linhas por 
          34 caracteres, 6 edio, da 
          Editora Moderna 2006.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa 
          Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Matemtica (Ensino 
          Fundamental) 7 Ano 
          (C) Edwaldo Bianchini 2006 

          Coordenao editorial: 
          Juliane Matsubara Barroso

          Edio de texto: 
          Dario Martins de Oliveira, 
          Maria Ceclia da Silva 
          Veridiano, Maria 
          Tereza Galluzzi, William Raphael Silva

          Assistncia editorial:
          Ktia Takahashi, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA MODERNA LTDA.
          Rua Padre Adelino, 758 -- 
          Belenzinho
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          ~,www.moderna.com.br~,
<P>
                               I
 Sumrio

Segunda Parte

 CAPTULO 2 -- Nmeros 
  racionais
 1. Os nmeros racionais no 
  dia-a-dia ::::::::::::::::: 135
 2. Conhecendo um pouco 
  mais os nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 140
 3. Representao dos 
  nmeros racionais na reta
  numrica :::::::::::::::::: 148
 4. Mdulo de um nmero 
  racional :::::::::::::::::: 154
 5. Comparao de nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 157
 Comparando nmeros 
  racionais escritos na 
  forma de frao ::::::::::: 158
 Comparando nmeros 
  racionais escritos na 
  forma decimal ::::::::::::: 159
 6. Adio e subtrao de
  nmeros racionais ::::::::: 168
<P>
 7. Multiplicao de 
  nmeros racionais ::::::::: 180
 8. Diviso de nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 186
 9. Potenciao de nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 195
 Propriedades da 
  potenciao ::::::::::::::: 197
 Potncia com expoente 
  inteiro negativo :::::::::: 201
 10. Raiz quadrada de 
  nmeros racionais ::::::::: 205
 11. Expresses numricas
  com nmeros racionais ::::: 212

<50>
<tmatemtica 7 ano>
<t+135>
CAPTULO 2 -- Nmeros 
  racionais

1. Os nmeros  racionais no 
  dia-a-dia
<R->

  Leia a reportagem a seguir.

A Terra no aguenta

  A humanidade j consome mais recursos
naturais do que o planeta  capaz de repor.
O colapso  visvel nas florestas, oceanos e
rios. O ritmo atual de consumo  uma ameaa
para a prosperidade futura da humanidade.
  A explorao dos recursos naturais da
Terra permite  humanidade atingir patamares
de conforto cada vez maiores. Diante da abundncia
de riquezas proporcionada pela natureza,
sempre se aproveitou como se o dote fosse
inesgotvel. Essa viso foi reformulada. Hoje
sabe-se que a maioria dos recursos naturais
dos quais o homem depende para manter seu
padro de vida pode desaparecer num prazo
relativamente curto -- e que  urgente evitar o
desperdcio. Um relatrio publicado .... pela
ONG World Wildlife Fund d a dimenso de
como a explorao dos recursos da Terra saiu
do controle e das consequncias que isso pode
ter no futuro. O estudo mostra que o atual
padro de consumo de recursos naturais pela
humanidade supera em 30% a capacidade do
planeta de recuper-los. Ou seja, a natureza
no d mais conta de repor tudo o que o bicho
homem tira dela. A conta da ONG foi feita
da seguinte forma.
  Primeiro, estimou-se a quantidade de
terra, gua e ar necessria para produzir os
bens e servios utilizados pelas populaes e
para absorver o lixo que elas geram durante
um ano. A seguir, esses valores foram transformados
em hectares e o resultado dividido
pelo nmero de habitantes do planeta. Chegou-se 
 concluso de que cada habitante
usa 2,7 hectares do planeta por ano. Nessa
conta, o brasileiro utiliza 2,4 hectares. De
acordo com a anlise, para usar os recursos
sem provocar danos irreversveis  natureza,
seria preciso que cada habitante utilizasse, no
mximo, 2,1 hectares. Se o homem continuar
a explorar a natureza sem dar tempo para que
ela se restabelea, em 2030 sero necessrios
recursos equivalentes a dois planetas Terra
para atender ao padro de consumo.

<51>
Terras cultivveis

  O planeta  formado por 15 bilhes
de hectares de terras, mas s 12% delas
servem para o cultivo. As demais correspondem
a cidades, pastos, desertos, zonas
montanhosas e geleiras. Nas ltimas trs
dcadas, o total de terras atingidas por
secas severas dobrou por causa do aquecimento
global. Na China, todos os anos
uma rea equivalente  metade de Sergipe
se transforma em deserto.

gua doce

  Apenas 1% de toda gua do planeta
 apropriada para beber ou ser usada
na agricultura. O restante corresponde
 gua salgada dos mares e ao gelo dos
polos e montanhas. Hoje a humanidade
utiliza metade das fontes de gua doce
do planeta. Em quarenta anos, utilizar
80%. A situao fica mais grave quando
se considera que 50% dos rios do mundo
esto poludos.

Cardumes

  Das 200 espcies de peixes com
maior interesse comercial, 120 so
exploradas alm do nvel sustentvel.
Nesse ritmo, o volume de pescado disponvel
ter diminudo em mais 90%
por volta de 2050.

 Oceanos

  Estima-se que 40% da rea dos
oceanos esteja gravemente degradada
pela ao do homem. Nas ltimas cinco
dcadas, o nmero de zonas mortas nos
oceanos cresceu de 13 para 150. Das
1.400 espcies de coral conhecidas, treze
estavam ameaadas de extino h dez
anos. Hoje, so 231.

<R+>
Fonte: LIMA, Roberta de Abreu; VIEIRA, Vanessa. 
  *A Terra no aguenta*. Veja. So Paulo: Abril, ed. 2.085, 5 nov. 2008.
<R->

  Nesse texto, aparecem diversos nmeros, como: 30%; 2,7; 2,4; 1%; 1.400 e 231. Voc j
aprendeu que esses nmeros so exemplos de nmeros racionais, pois podem ser escritos
na forma de frao.
  Neste captulo, vamos estudar um pouco mais os nmeros racionais e ver que os nmeros
-2,7; -2,4; -1.400 e -231, por exemplo, tambm so nmeros racionais.

<52>
2. Conhecendo um pouco mais os 
  nmeros racionais

  Observe que na diviso de um nmero inteiro por outro nmero inteiro, diferente de zero, o
resultado pode ser um nmero inteiro ou um nmero no inteiro. Veja:

Exemplo 1

<R+>
 `(-30)`(+5)=-6, pois 
  `(-6)"`(+5)=-30
 -30, +5 e -6 :> nmeros inteiros
<R->

   Observe que o quociente de -30)-5)  um nmero inteiro negativo, uma vez que
estamos dividindo nmeros de sinais contrrios, e pode ser expresso por uma frao, por
exemplo, -30+5=-61.

Exemplo 2

  Vamos considerar a diviso -12)+5).
  Observe que no existe um nmero inteiro que, multiplicado por +5, resulte em -12.

-12)+5)= quociente

  Assim, o quociente de -12)+5)  um nmero no inteiro que pode ser 
expresso por uma frao, por exemplo, -125, ou, ainda, na forma decimal: -125=-2410=-2,4.

  Todo nmero que pode ser representado por uma frao ab, em que
*a* e *b* so nmeros inteiros, com b=0,  um nmero racional.

  Veja alguns exemplos de nmeros racionais: -5; 92; -0,75; 13; 3,2; -205.
<P>
  Alguns desses nmeros esto representados por fraes: 92; -13 e -205.
  Tambm podemos escrever os demais na forma de frao. Veja como:
<R+>
  -5=-102
  -0,75=-75100
  3,2=3210
<R->
  Alm disso, todos esses nmeros podem ser escritos na forma decimal. Alguns j esto
nessa forma: -0,75 e 3,2. Vamos transformar os outros. No caso das fraes, basta dividir o
numerador pelo denominador.
<R+>
  -5=-5,0 
  92=4,5
  -13=0,333 
  -205=-4=-4,0
<R->
<53>
  Os nmeros -5,0; 4,5; -0,75; -0,333; 3,2 e -4,0 esto escritos na forma decimal.
  Os nmeros -5; 4,5; -0,75; 3,2 e -4 podem ser representados por uma frao cujo denominador
 uma potncia de 10 -5=-5010;
<P>
 4,5=4510; -0,75=-75100; 3,2=3210 e -4=-400100.
  J no caso do nmero -0,333, que  uma dzima peridica, a forma de frao  -13.

OBSERVAO

  Como j vimos, indicamos uma dzima peridica colocando um trao sobre o
perodo. Desse modo, o nmero -0,333... pode ser indicado por -0,?c*.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 1- Considere os quocientes de:
 I. -7)+4)
 II. 5-9)
 III. -12)+2)
 a) Escreva em seu caderno cada um desses
quocientes na forma de frao.
<P>
 b) Qual  a forma decimal desses quocientes?
 c) Classifique cada quociente como nmero
inteiro ou nmero no inteiro.

 2- Determine a forma decimal do nmero que
representa o quociente de cada diviso.
Desses nmeros, quais no podem ser
representados por fraes decimais?
 a) 114 
 b) -5)3
 c) -9)-2)
 d) 22-15)

 3- Associe os nmeros a seguir s letras A,
B, C ou D para mostrar em que local do
quadro voc os colocaria.
<P>
<F->
           $:::::::::::::::::::: 
           _ nmero   _ nmero   _
           _ racional _ racional _
           _ int.     _ no int. _  
!::::::::::w::::::::::w::::::::::w
l forma de _          _          _
l frao   _ A       _ B       _
r::::::::::w::::::::::w::::::::::w
l forma    _          _          _
l decimal  _ C       _ D       _
h::::::::::j::::::::::j::::::::::j
<F+>

 a) 3,51 
 b) 351,0 
 c) -182
 d) 4,111 
 e) 4,111 
 f) 45
 g) -0,5
 h) -2,0
 i) -4125

 4- Dados os nmeros racionais 2,3; -37; -8,0; 2,555; 
<P>
  4,0; -1,6 e 16 e 0,222, escreva em seu caderno:
 a) os nmeros inteiros;
 b) os nmeros racionais na forma de frao;
 c) os nmeros racionais na forma decimal;
 d) as dzimas peridicas.

5- Escreva exemplos em seu caderno:
 a) de um nmero racional inteiro;
 b) de um nmero racional natural;
 c) de um nmero racional no inteiro;
 d) de um nmero natural no racional.

 6- Joo encontrou o comprimento, em metro,
do ptio da escola e o expressou da
seguinte maneira: 12,3 m. Para indicar
essa medida com um nmero inteiro, Joo
fez uma mudana de unidade de medida
de comprimento. Como ele pode ter feito isso?
Escreva a resposta em seu caderno.

<54>
 7- Rena-se com um colega para responder
s questes a seguir. No incio deste captulo, vocs
leram um texto sobre o uso dos recursos naturais que
est acima do que o planeta  capaz de repor.
De acordo com esse texto, respondam:
 a) Qual  a porcentagem em que o atual
consumo de recursos pela humanidade
supera a capacidade do planeta em
recuper-los?
 b) Segundo o estudo da ONG, cada habitante
usa 2,7 hectares do planeta por
ano. Quantos hectares a menos cada
habitante deveria usar sem provocar
danos irreversveis  natureza?
 c) O que vocs acham que poderia ser
feito para reduzir o uso dos recursos
naturais?
 d) Faam uma pesquisa e descubram se no
municpio e no estado em que moram
h alguma campanha incentivando o
uso consciente dos recursos naturais.
Troquem as informaes obtidas com
os outros colegas da classe.

Pense mais um pouco...
<R->

  Considere uma frao cujo numerador  mltiplo do
denominador.
  Essa frao representa um nmero racional inteiro
ou um nmero racional no inteiro? Justifique sua resposta.

3. Representao dos nmeros
  racionais na reta numrica

  No captulo anterior, vimos como representar os nmeros inteiros sobre uma reta numrica.
Da mesma forma, podemos tambm representar os nmeros racionais.
  J sabemos que os nmeros positivos ficam  direita do zero, e os negativos,  esquerda.
Alm disso, a distncia entre dois pontos que correspondem a nmeros inteiros consecutivos  sempre 
<P>
a mesma (na reta a seguir, por exemplo,  de 2 cm).

<F->
   {c' {b' {a'  O   {a  {b  {c
::o::o::o:::o:::o::o::o::o
  -3 -2 -1   0   1  2  3                
<F+>

  Vejamos a representao de alguns nmeros racionais.
  Vamos marcar nessa reta o ponto que corresponde ao nmero #,b. Como esse nmero 
positivo, o ponto correspondente a ele deve estar  direita da origem (ponto O, que corresponde
ao nmero zero). Assim, devemos dividir o segmento ^c?{o{a* em duas partes iguais. O ponto M
corresponde ao nmero #,b.

<F->
    {b' {a' O   {m   {a  {b  
:::o::o::o:::o:::o::o:::o
   -2 -1  0   #,b  1  2                 
<F+>

<55>
  Para representar o nmero -#,b nessa reta, procedemos de modo semelhante, levando em
conta, no entanto, que -#,b  negativo. Ento, -#,b dever corresponder a um ponto da reta
que fica  esquerda da origem.
  Assim, devemos dividir o segmento ^c?{o{a'* em duas partes iguais. Ao ponto M' corresponde o
nmero -#,b.

<F->
   {b' {a' {m' O  {m  {a  {b  
::o::o::o::o::o::o::o::o
  -2 -1 -#,b 0  #,b 1  2                 
<F+>

  O nmero #,b  a abscissa do ponto M, e o nmero -#,b, a abscissa do ponto M'
  Os pontos M e M. so chamados de pontos simtricos em relao a O, pois esto  mesma
distncia de O, s que um est  direita e o outro  esquerda.
  Dizemos que as abscissas #,b e -#,b so opostas.
  Agora vamos marcar os pontos P e P' de abscissas #,,d e -#,,d respectivamente. Sendo
#,,d=2#:d, ento #,,d  um nmero que est entre 2 e 3. De modo semelhante, podemos concluir
que -#,,d est entre -3 e -2, pois: -#,,d=2#:d=-2+-#:d.
  Ento, vamos dividir os segmentos ^c?{b{c* e ^c?{b'{c'* em quatro partes iguais. Ao ponto P corresponde
o nmero #,,d, e ao ponto P', o nmero -#,,d.

_`[{reta numrica no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Os pontos P e P' so simtricos em relao a O.
Marquemos ainda os pontos de abscissas 1,3 e -1,3, ou seja, #,:aj e -#,:aj.
  Observe que 1,3  maior que 1 e menor que 2 e -1,3  menor que -1 e maior que -2.
  Ento, vamos dividir os segmentos ^c?{a{b* e ^c?{a'{b'* em dez partes iguais para marcar os pontos em
questo. Na reta eles es-
<P>
to representados pelos pontos Q e Q.

_`[{reta numrica no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Todo nmero racional pode ser associado a um ponto da reta numrica.

<56>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

8- Observe a reta numrica a seguir:

<F->
   {e'  {d' O  {a      {c   {m
::o:::o::o::o:::w::o:::o::o
 -1,5 -1  0 0,25 1 #:b -2             
<F+>

 Determine em seu caderno:
 a) a abscissa do ponto A;
 b) a abscissa do ponto M;
 c) a abscissa do ponto D;
 d) a abscissa do ponto E;
 e) a abscissa do ponto C.

 _`[{para as atividades 9 e 10 pea orientao ao professor_`]

 9- Desenhe uma reta numrica em seu caderno.
Faa a unidade com 5 cm. Em seguida,
represente sobre a reta os pontos:
 a) M, de abscissa -0,4, e N, que  simtrico de M;
 b) P, de abscissa 0,6, e Q, simtrico de P.

 10- Desenhe uma reta numrica em seu caderno
e represente sobre ela os pontos:
  A, de abscissa #;e;
  B', de abscissa -2,5;
  C, de abscissa 1,25;
  D', de abscissa -#=b;
  E, de abscissa #?b;
  F', de abscissa -#?d;
  G, de abscissa 3,5;
  H', de abscissa -0,4.
 Descubra quais so os pares de pontos simtricos.
<P>
 11- Numa reta numrica, foram assinalados os
pontos A, B, C, D e E, que representam os
nmeros -1,5; #=e; -#,e; +5,7 e -5,7, nessa
ordem. Assim,  possvel concluir que:
 a) A est  direita de B? Por qu?
 b) A e C coincidem? Por qu?
 c) D e E so simtricos? Por qu?
 d) B est  direita dos demais pontos? Por qu?

4. Mdulo de um nmero racional
<R->

  J sabemos que em uma reta numrica  possvel determinar a distncia do ponto de
abscissa zero (origem) a um outro ponto qualquer da reta.
  A distncia de um ponto  origem  o mdulo do nmero que corresponde a esse ponto.
  Veja os exemplos:

<R+>
_`[{reta numrica no adaptada_`]

  O mdulo de -#,,d (abscissa do ponto P')  #,,d (distncia do ponto P'  origem).
Ento, como o mdulo de -#,,d  indicado por _ -#,,d_, podemos escrever: _ -#,,d_ =#,,d.
  O mdulo de 1,3 (abscissa do ponto Q)  1,3 (distncia do ponto Q  origem). Ento:
  _ 1,3_ =1,3.
  O mdulo de -1,3 (abscissa do ponto Q')  1,3 (distncia do ponto Q'  origem). Ento: _ -1,3_ =1,3.
<R->

<57>
  Observe outro exemplo:
  Se #?c representa a distncia de O a um ponto na reta numrica, ento a abscissa desse
ponto pode ser -#?c ou #?c.

<F->
       {r'     O      {r   
::w:::o:::w::o::w:::o:::w::o
  -2 -#?c -1 0  1  #?c  2             
<F+>
<P>
  Nmeros que tm o mesmo mdulo e sinais diferentes so opostos ou simtricos.
  Exemplos:
<R+>
  O oposto de #,b  -#,b.
  O oposto de -#=e  #=e.
  O oposto de -0,4  0,4.
  O oposto de -2#,d  2#,d.

EXERCCIOS PROPOSTOS

12- Responda em seu caderno:
 a) Qual  o mdulo de -#:e?
 b) Quanto vale _ -14,3_?
 c) Se _ -8_ representa a distncia de O a
T na reta numrica, qual  a abscissa do ponto T?
 d) Se _ a_ =#;c, quais so os possveis valores de *a*?
 e) Se _ x_ =1,5, qual  a distncia do ponto
de abscissa x at a origem?

13- Determine em seu caderno:
 a) O oposto de #=i.
 b) O oposto de -#;c.
 c) O oposto de 5,4238.
 d) O oposto do oposto de -6,72.
 e) O oposto de _ -1,555..._.
 f) O oposto do oposto de 
  _ -#+e_.

5. Comparao de nmeros 
  racionais
<R->

  Aprendemos a comparar nmeros inteiros em uma reta numrica. Dados dois nmeros inteiros
diferentes, o menor  aquele que, na reta numrica, est  esquerda do outro.

<R+>
_`[{reta numrica no adaptada_`]

  Observe, por exemplo, que:
 a) 6o3 
 b) 2o-5 
 c) -4-1 
 d) -22
 e) 0o-8
<R->

<58>
  Dados dois nmeros racionais diferentes, o menor tambm  aque-
<P>
le que est  esquerda do outro na reta numrica.

<F->
::w:::w:::::w:::w:::w:::w::w::::o
  -2 -1,8 -#,b 0  #:b 2 2#,c
<F+>

  Observe, por exemplo, que:
 a) -1,8-#,b
 b) -#,bo-2
 c) #:b2#,c
 d) -1,80

  A seguir, voc ver como comparar nmeros racionais sem a reta numrica.

Comparando nmeros racionais 
  escritos na forma de frao

  Quando os denominadores so iguais, basta comparar os numeradores. Como exemplo,
vamos comparar os nmeros #,b e #?b.
  Como 15, temos: #,b#?b.
  Quando os denominadores so diferentes, reduzimos as fraes ao mesmo denominador
(denominador comum) e, ento, comparamos os numeradores (como no caso anterior). Como
exemplo, vamos comparar as fraes #;c e #:d.
  Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, temos: #;c=#"ab e #:d=#*ab.
  Como 9o8, ento #*abo#"ab e, portanto, #:do#;c.
  Do mesmo modo, comparamos nmeros racionais negativos escritos na forma de frao.
  Exemplos:
<R+>
 a) -#,co-#?c, pois -1o-5
 b) -#;c-#:e, pois -#,}ae-#*ae
<R->

Comparando nmeros racionais 
  escritos na forma decimal

  Inicialmente levamos em conta os sinais dos nmeros dados. Se os sinais forem diferentes, j
sabemos que um nmero positivo  sempre maior que um negativo. Se os sinais forem iguais, comparamos 
a parte inteira. Se as partes inteiras forem iguais, comparamos a parte decimal.
  Exemplos:
 a) 2,35o-5,827

  O primeiro nmero 2,35)  positivo e o segundo -5,827)  negativo.

 b) 2,352,6

  A parte inteira  igual, mas o segundo nmero tem 6 dcimos, enquanto o primeiro tem
3 dcimos; portanto, 3 dcimos 6 dcimos.

 c) -2,35o-2,6

  A parte inteira  igual, mas o primeiro nmero tem 3 dcimos negativos e o segundo tem
6 dcimos negativos; portanto, 3 dcimos negativos o6 dcimos negativos.

<59>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

14- Compare os nmeros racionais usando
os sinais *o* ou **. Responda em seu caderno.
 a) -#?c e #;i
 b) #;c e #;g
 c) -#,d e -#?f 
 d) -#,h e -#,b
 e) -#?f e -#;e
 f) 1#,d e 3#,e

 15- Identifique em seu caderno o maior nmero
racional em cada caso a seguir.
 a) -3,2 ou -5,4
 b) -7,12 ou -7,10
 c) 1,2 ou -10,6
 d) -4,5213 ou -4,5204
 e) -#,b ou -0,3

 16- Para a sobremesa do almoo de domingo,
mame fez o bolo preferido de nossa famlia.
Eu comi #,ab do bolo, minha irm Renata e mame comeram
#,h cada uma, e papai comeu #,f do bolo. Quem comeu
mais bolo? Responda em seu caderno.

 17- Compare os nmeros racionais usando os
sinais *o*, *=*, ou **.
 a) _ -0,6_ e _ -#,e_
 b) _ -#?f_ e _ 0,8?c*_
 c) _ -#,b_ e _ -#?c_
 d) _ #?d_ e _ -3,2_
 e) _ -#:h_ e _ 0_ 
 f) _ -0,?f*_ e _ -0,6_

 18- Leia o texto a seguir e analise a tabela.

Saneamento bsico

<R->
  O saneamento bsico envolve servios de
coleta de lixo, gua tratada e esgotamento
sanitrio (rede de esgoto e limpeza pblica).
  No Brasil h um dficit desses servios [...] Boa
parte dos brasileiros reside em locais onde as
condies de saneamento so precrias. [...]
mesmo nas cidades, o saneamento bsico
no atinge a populao de baixa renda, que
mora em locais onde o servio no  oferecido,
como encostas de morros e margens de rios.

<R+>
 _`[{tabela *Proporo de municpios por condio de esgotamento sanitrio (em %, ano 2000)*
adaptada em 4 colunas: Localizao -- Sem coleta -- S coleta -- Coleta e tratamento.
 Brasil -- 47,8 -- 32,0 -- 20,2
 Regio Norte -- 92,9 -- 3,5 -- 3,6
 Regio Nordeste -- 57,1 -- 29,6 -- 13,3
 Regio Sudeste -- 7,1 -- 59,8 -- 33,1
 Regio Sul -- 61,1 -- 17,2 -- 21,7
 Regio Centro-Oeste -- 82,1 -- 5,6 -- 12,3_`]

Elaborado com dados obtidos em: *Enciclopdia do estudante:
Geografia do Brasil: aspectos fsicos, econmicos e sociais.*
So Paulo: Moderna, 2008. p. 132-3.

 Responda s questes em seu caderno.
 a) De acordo com a tabela, qual regio
brasileira tem a maior porcentagem de
municpios sem coleta de esgotamento
sanitrio? E qual regio tem a maior
porcentagem de municpios com coleta
e tratamento de esgoto?
 b) Construa trs tabelas: uma para representar
a porcentagem dos municpios
sem coleta de esgoto, outra para representar
a porcentagem dos municpios
com coleta e outra para representar a
porcentagem dos municpios com coleta
e tratamento. Para isso, os dados das
tabelas devero estar organizados em
ordem crescente, ou seja, na primeira
linha, devero estar os dados da regio
com maior porcentagem, na segunda
linha, a regio com a segunda maior
porcentagem, e assim por diante.
<60>
 c) Construindo as tabelas, voc percebeu
que os mesmos dados podem ser organizados
de diferentes maneiras. Alm
disso, esses dados tambm podem ser
organizados em um nico grfico de
barras. Entre essas trs opes, na sua
opinio, qual mais facilita a visualizao
e a comparao entre os dados? Justifique sua resposta.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 19- Escreva em seu caderno os nmeros de
cada item em ordem crescente.
 a) #*d; 2,1; 0,65; #?c
 b) -#,,b; #,f; -0,1222; 0,1
 c) #?h; #=c; _ -#*d_; _ -2,34_

 20- Nas frias, Marina e 
  Carolina foram mergulhar em Fernando de Noronha (PE). Em determinado momento, Marina se
encontrava a -3,5 metros em relao ao nvel do mar, e 
<P>
  Carolina, por sua vez, estava a -1,6 metro.
 a) Qual delas estava mais prxima da superfcie?
 b) Represente na forma de frao a profundidade
em que cada uma se encontra.

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 21- Escreva em seu caderno a representao
decimal do nmero #:d.

 22- Classifique, em seu caderno, cada nmero
a seguir como nmero racional inteiro ou
nmero racional no inteiro.
 a) -#,}b
 b) #=i
 c) #?d
 d) -#?a
 e) -1#:d 

 23- Entre os nmeros racionais 3,5; -#;c; 4,333;
#,;c; 3 e -4,5, escreva em seu caderno:
 a) os nmeros racionais inteiros;
 b) os nmeros racionais no inteiros;
 c) os nmeros que esto na forma decimal;
 d) as dzimas peridicas.

24- Observe a reta numrica e determine em
seu caderno o que se pede.

<F->
   M      N      P      Q
::o::::::o::::::o::::::o::o
  -3,2   -#:,aj  -3,0   -2,9                
<F+>

 a) a abscissa do ponto M;
 b) a abscissa do ponto N;
 c) a abscissa do ponto P;
 d) a abscissa do ponto Q.

 25- Responda em seu caderno:
 a) Qual  o mdulo de -#,e?
 b) Se _ m_ =0,8, quais so os possveis valores de m?

 26- Compare os nmeros racionais usando os
sinais *o*, **, ou 
<P>
  *=*. Escreva as respostas em seu caderno.
 a) _ -2,5_ e 2,5
 b) 3,426 e 3,4181
 c) -11,3 e -2,51
 d) -#:h e -#,b
 e) 0,12 e #,e
 f) _ -2,1_ e _ 0,3_

<61>
6. Adio e subtrao de nmeros racionais
<R->

  Em muitos momentos da vida, temos a necessidade de operar com nmeros racionais.
Acompanhe a reportagem a seguir.

DIRIO DO BRASIL

Diminui devastao da floresta

  Os satlites do Instituto Nacional de Pesquisas
Espaciais Inpe) registraram que, em
setembro de 2008, a Floresta 
 Amaznica perdeu uma rea equivalente a 40% da cidade de
So Paulo. O ritmo do abate, no entanto, foi
inferior ao medido no ms de agosto. [...]
  Segundo o Inpe, mais da metade da rea
atacada na Amaznia em setembro 52,7%
foi classificada no grau mais radical de desmatamento.
Outros 31,1% sofreram alto grau de degradao.

<R+>
 _`[{grafico *Desmatamento na Amaznia (em quilmetros quadrados) 
ndice de setembro foi aproximadamente 22,4% menor em relao a agosto* adaptado em 2 
colunas: Ms -- rea desmatada em quilmetros quadrados.
 Jan. -- 639,1
 Fev. -- 725
 Mar. -- 145,7
 Abr. -- 1.124
 Maio -- 1.096,3
 Jun. -- 870,8
 Jul. -- 323,9
<P>
 Ago. -- 756,7
 Set. -- 587,3_`]

Dados obtidos em: *Folha de S. Paulo*, 30 out. 2008,
  Brasil, p. A8.
<R->

  Com as informaes apresentadas na reportagem, podemos calcular, por exemplo, quantos
quilmetros quadrados foram desmatados na
 Amaznia, no perodo de janeiro a setembro de 2008.
  Para isso, fazemos:
639,1+725+145,7+1.124+
  +1.096,3+870,8+323,9+
  +756,7+587,3=6.268,8
  Portanto, nesse perodo foram desmatados 6.268,8 km2 da Amaznia.
  Tambm podemos calcular quanto foi a reduo, de agosto para setembro de 2008, da rea
desmatada na Amaznia.
  Para encontrar esse valor, calculamos: 756,7-587,3=169,4.
  Assim, conclumos que houve uma reduo de 169,4 km2. Observe no grfico que esse valor
representa uma reduo de aproximadamente 22,4%.
<62>
  Acompanhe mais alguns exemplos:
<R+>
 a) `(+#;c`)+`(-#:e`)=  
<R->

  Eliminamos os parnteses

 =+#;c-#:e=

  Reduzimos as fraes ao mesmo denominador

 =#,}ae-#*ae=#,ae

<R+>
 b) -2,84)+-3,7)=-2,84-3,7=
  =-6,54
 c) -#,b--#;c=-#,b+#;c=-#:f+
  +#f=#,f
 d) -#?f--0,3=-#?f--#:aj=
  =-#?f+#:aj=-#;?cj+#*cj=-#,+cj=
  =-#"ae
<P>
 e) Vamos calcular o valor da expresso:
  -#?ab--#:d+#?f-#;i=
  =-#?ab--#:d+#,?ah-#ah= 
  =-#?ab--#:d+#,,ah= 
  =-#?ab--#;=cf+#;;cf=
  =-#?ab--#?cf=
  =-#?ab+#?cf=-#,?cf+#?cf=-#,}cf=
  =-#?ah 

<R->
OBSERVAO

  As propriedades da adio de nmeros inteiros tambm so vlidas para a adio
de nmeros racionais.

<63>
<R+>
EXECCIOS PROPOSTOS

 27- Calcule, em seu caderno, dando o resultado na forma de frao.
 a) -#e+-#,b 
 b) -#?c--#:d
 c) #:d-0,25
 d) -#=ae+1
 e) #?i-#,}ab 
 f) 2#,c-3

 28- Escreva em seu caderno o resultado das
operaes na forma decimal.
 a) -0,25+-0,75) 
 b) -0,6+#,?aj
 c) 112,4-38,16
 d) 3#,d-#,b
 e) #"e-3,0
 f) #:b+2

 29- Se a=0,5+#,h e b=#=h-4,3. Qual  o valor de a+b?
 30- Na pilha, cada letra equivale  soma dos
nmeros das duas casas imediatamente
abaixo. Determine o nmero que est no
alto da pilha.

<F->
            $::::::
            _  F  _
        $:::j:::::j::
        _  D  _  E  _
     $::j:::::j:::::j::: 
     _  A  _  B  _  C  _
$::::j:::::j:::::j:::::j:::::
_ -1,1 _ 3,6  _ -4,1 _ 2,0  _
:::::::j:::::::j:::::::j:::::::j
<F+>

 31- Um submarino estava a -72,5 m. Alguns
minutos depois, estava a -95,4 m. O submarino
desceu ou subiu? Quantos metros?
 32- Pela manh, quando o banco abriu, a
conta de Regina apresentava um saldo
de -365,40 reais.  tarde ela movimentou
a conta, e seu saldo passou a ser de
-65,40 reais. Regina fez uma retirada ou
um depsito? De quanto?

 33- Leia o texto a seguir.
<R->

  Em Economia, a diferena entre o valor
arrecadado com as exportaes de um pas
(produtos vendidos a outros pases) e o valor
arrecadado com as importaes (produtos
comprados de outros pases)  o saldo da
balana comercial. Quando o pas exporta
mais do que importa, h supervit. Quando
ocorre o contrrio, h dficit. Veja a evoluo da balana
<P>
comercial brasileira no perodo de 1996 a 2006:

<R+>
 _`[{grfico *A balana comercial brasileira* adaptado em duas colunas: Ano -- Saldo (em bilhes de dlares).
 1996 -- -5,6 dficit
 1997 -- -6,7 dficit
 1998 -- -6,6 dficit
 1999 -- -1,3 dficit
 2000 -- -0,75 dficit
 2001 -- 2,6
 2002 -- 13,1
 2003 -- 24,8
 2004 -- 33,7
 2005 -- 44,8
 2006 -- 46_`]

Fonte: *Atualidades do Vestibular 2009*. So Paulo: Abril, 2008 p.135 (Guia do Estudante.) 
<P>
 Agora, responda s questes:
 a) Em qual desses anos o dficit brasileiro
foi maior? Qual foi o ndice?
 b) Em que ano o supervit foi maior? Com qual ndice?
 c) Em 1998, o valor arrecadado com as
exportaes do Brasil foi de aproximadamente
60 bilhes de dlares. Qual foi,
aproximadamente, o valor arrecadado
com as importaes nesse ano?
 d) Em 2004, o valor arrecadado com as
importaes foi de aproximadamente
65 bilhes de dlares. Determine o valor
aproximado que foi arrecadado com as
exportaes nesse ano. 

<64>
 34- Qual  o nmero inteiro mais prximo do
valor da expresso -3,1+2,4-3,8)-1,6-2)?
 35- Escreva em seu caderno, na forma decimal,
o nmero correspondente ao valor da
expresso a seguir.
-#*b+-1--#?h+#,d.
<P>
 36- Determine, em seu caderno, entre quais
nmeros inteiros consecutivos encontra-se
o valor da expresso: #=c-2-#,c-1.

 37- Manuela e Luciano resolveram a operao
#,c+0,5 de formas diferentes. Veja como cada um procedeu.

Manuela:
 #,c+0,5=#,c+#,b=#;f+#:f=#?f

Luciano:
<R->
  Como a representao decimal de #,c  0,333...,
vou considerar que #,c  aproximadamente
0,333 para fazer os clculos. Assim, tenho: 
#,c+0,5=0,333+0,5=
  =0,833=#"::ajjj

<R+>
 Rena-se com um colega para analisar
as duas resolues e responder s questes.
 a) Descrevam os procedimentos que cada
um utilizou para encontrar o resultado
da operao.
 b) Manuela e Luciano encontraram o mesmo
resultado? Se no, o que aconteceu?
Justifiquem a resposta.

 38- Jurandir efetuou a operao #,h+-#,d 
na calculadora e obteve o seguinte resultado: -0.21875.
Sabendo que o resultado obtido por Jurandir
no est correto, determine em seu caderno:
 a) O resultado da operao.
 b) A expresso que corresponde ao clculo
feito pela calculadora.
 c) Como voc faria essa operao usando
uma calculadora? Justifique sua resposta.

 39- Na pilha, cada letra equivale  diferena
entre duas casas imediatamente abaixo, de
modo que o nmero do alto da pilha seja
um nmero quadrado perfei-
<P>
  to. Determine, em seu caderno, esse nmero.
<R->

<F->
            $::::::
            _  F  _
        $:::j:::::j::
        _  D  _  E  _
     $::j:::::j:::::j::: 
     _  A  _  B  _  C  _
$::::j:::::j:::::j:::::j:::::
_ 7,8  _ -5,6 _ 3,4  _ -1,2 _
:::::::j:::::::j:::::::j:::::::j
<F->

Pense mais um pouco...
<R->

  Considere estes cartes:

<F->
!::::::  !::::::  !::::::
l  0  _  l  2  _  l  5  _ 
h::::::j  h::::::j  h::::::j
<F+>

  Usando sempre os trs cartes, monte todos os
nmeros racionais possveis, colocando a vrgula
entre dois desses algarismos.
  Qual  a diferena entre o menor e o maior desses nmeros?

<65>
7. Multiplicao de nmeros 
  racionais

  Do mesmo modo que necessitamos adicionar
ou subtrair nmeros racionais para
resolver problemas, tambm precisamos
multiplic-los.
  Acompanhe este exemplo:
  Paulo contratou os servios de um jardineiro
para fazer um canteiro em um terreno
quadrado que tem 900 m2 de rea.
  O jardineiro, ento, construiu um canteiro
que ocupou 20% da metade do terreno de Paulo.
Como o jardineiro cobrou R$25,50 por
m2 de canteiro construdo, quanto Paulo gastou?

  A expresso a seguir fornece a quantia que Paulo gastou. Observe:
20%.#,b.900.#be,ej

<R+>
 rea do canteiro em m :> 20%.#,b.900
 despesa com a construo do canteiro :> 20%.#,b.900.#be,ej
<R->

  Agora vamos calcular o valor dessa expresso.
 20%.#,b.900.#be,ej=

  Escrevemos 20% na forma de frao
 =#;}ajj.#,b.900.#be,ej=

  Efetuamos as multiplicaes dos trs primeiros fatores
 =90.#be,ej=2.295,00

  Portanto, Paulo pagou R$2.295,00 para o jardineiro.
  Acompanhe outros exemplos.

Exemplo 1

 -0,3)'-#?h

  Lembrando que -0,3=-#:aj, temos:
 -0,3)'-#?h=-#:aj'-#?h=
  =-#:b'-#,h=#:af

<66>
<P>
Exemplo 2

-#:d--#?f'+#=e=
  =-#:d--#=f=
  =-#:d+#=f=?-9+14*12=#?ab 

OBSERVAO

  As propriedades da multiplicao de nmeros inteiros tambm so vlidas para
a multiplicao de nmeros racionais.

<R+>
EXERCCOS PROPOSTOS

 40- Registre em seu caderno os produtos das
seguintes multiplicaes:
 a) -3)'+#,e
 b) 5,4'-20)
 c) -0,2)'-0,01)
 d) +#;c'-#,b'-#:g
 e) 0,5'-#"g
 f) -2,3'-#?b

 41- Sabendo que A=#,c-#:d e B=-#;c+#,b, calcule
em seu caderno A'B.

 42- Calcule, em seu caderno, o valor das expresses,
utilizando a propriedade distributiva.
 a) #;e'-#:d-#,b 
 b) -#c'-#:d+#+e
 c) -#;g'-#,b-#=c
 d) 0,5'-1,4+2,1

 43- Determine o valor de A de acordo com o
esquema a seguir:

<F->
!:::::: !:::::   !::::: !::::: 
l-#,?ah_ l #?d _   l -#;e_ l +#,b_
h:::!::j h::::j   h:::+:j h::::j
    l      _           l      _
   !h::::::j         !h::::::j
   l  some  _         l  some  _
   h:::::::j         h::::+:::j
                          
                        
          !h::::::::::::j
          l multiplique  _
          h:::::::+::::::j
                  l
               !::h::
               l  A _
               h:::::j
<F+>

44- Calcule em seu caderno o valor das expresses:
 a) #;i--#?f'#,e+-#:d'-#?c
 b) #,b+#,d'-#=b-#?d'-#,h
 c) #*d+#=b+#:af'-10-#=b

<67>
 45- Leia o seguinte problema:
Dos 540 reais que Maria havia economizado,
ela retirou #;c para comprar um tapete.
Com quantos reais ela ficou?
 a) Escreva em seu caderno uma expresso
numrica que determine a soluo desse problema.
 b) Resolva essa expresso e obtenha a 
resposta do problema.

 46- Elabore um problema cuja soluo possa
ser representada pela expresso
120,30-10%'120,30. Em seguida, resolva
o problema que voc elaborou.
 47- O salrio de Beatriz  calculado de acordo
com as horas trabalhadas. No ltimo ms,
ela trabalhou 176 horas e 24 minutos.
Qual deve ser o salrio de Beatriz nesse
ms, considerando que ela ganha R$13,52 por hora?
 48- Observe a reta numrica a seguir. Nela, representamos
os nmeros racionais 0, 1, x e y.

<F->
:::w:::::::::w:::::w:::::w:::o
    0        x     y     1
<F+>

 Calculando o produto xy, que posio ele
ocupar na reta:  esquerda do 0, entre 0 e x,
entre x e y, entre y e 1 ou  direita de 1?

<R+>
 49- Marilu est viajando com seu carro popular
de motor bicombustvel. Ao parar no
primeiro posto para abastecer seu veculo,
ela ficou em dvida se abastecia com gasolina
ou lcool. O preo do litro da gasolina nesse
posto era de R$2,769 e o do litro do lcool, R$2,229.
 a) Sabendo que o carro de Marilu percorre
12,5 km com 1 litro de gasolina e 10 km
com 1 litro de lcool, com qual combustvel
ela deve abastecer seu carro? Justifique sua resposta.
 b) Em um segundo posto de combustvel,
o preo da gasolina era de R$2,725 e
o do lcool, R$2,099. Se Marilu gastou
R$109,00 para abastecer seu carro com
40 litros de combustvel, ela fez a melhor
opo pelo combustvel? Justifique sua resposta.

Pense mais um pouco...
<R->

  Descubra como fazer o clculo de 144,26'3,7 em
uma calculadora na qual as teclas 4, 6 e
_`[{vrgula decimal_`] esto quebradas.

8. Diviso de nmeros racionais

  Para efetuar a operao de diviso de nmeros racionais, devemos lembrar que:
<P>
<R+>
  na diviso de nmeros na forma de frao, multiplicamos a
primeira frao pelo inverso da segunda;
  na diviso de nmeros na forma decimal, igualamos as casas 
decimais e dividimos como se os nmeros fossem inteiros;
  o quociente de nmeros de mesmo sinal  positivo, e o 
quociente de nmeros de sinais contrrios, negativo.
<R->
<68>
  Vejamos alguns exemplos nos quais  preciso efetuar a diviso entre nmeros racionais.

Exemplo 1

  Um edifcio foi projetado de tal modo que alguns
andares ficam no subsolo. A altura do edifcio,
acima do solo,  de 42 m, e a profundidade,
abaixo do solo,  de -9,60 m. A altura de cada andar
do subsolo pode ser representada por -3,20 m,
e a de cada andar acima do solo, por +3,50 m.
  Quantos andares tem esse edifcio?
<R+>
  nmero de andares no subsolo :> -9,60-3,20=3;
  nmero de andares acima do solo :> +42+3,50=12;
  total de andares :> 3+12=15.
<R->
  Portanto, esse edifcio tem 15 andares.

Exemplo 2

  Observe como efetuamos a diviso a seguir:
 -#:e-#"e=-#:e'-#,h=
  =-3'-#,h=#:h 

Exemplo 3

  Vamos calcular o quociente: -19,243,7.
  Como so nmeros de sinais diferentes, o quociente ser negativo. 
Agora basta efetuar 19,243,7, cujo quociente  o mesmo que o de 1.924370.
  Assim: 1.924370=5,2 resto 0. 
  Portanto, -19,243,7=
 =-5,2.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 50- Registre, em seu caderno, o clculo das divises
a seguir e seus respectivos quocientes.
 a) #:e#:d
 b) -65,72)-12,4
 c) -#?f-#,d
 d) 0,3-0,2)

 51- Calcule o valor das expresses em seu caderno:
 a) -#?i#;c-#=f
 b) 2-#*h-#?d
 c) -#?i'-#;c-3#;c
 d) -15,8+-8,68+6,2)

<69>
<P>
 52- Joo realizou algumas operaes com a
calculadora. Veja o que ele fez:

_`[{operaes adaptadas, realizadas numa calculadora_`]
 A"2,5=9,5
 9,50,125=B
 B-80=C

 Descubra quais so os nmeros A, B e
C. Depois, pegue uma calculadora para
confirmar sua resposta e refaa os passos de Joo.

 53- O cervo-do-rabo-branco, animal que habita a regio de
  Minnesota, nos Estados Unidos, chega a saltar uma distncia 
de 9 metros, o que corresponde a aproximadamente 4,5 vezes seu tamanho.
 a) Qual  o comprimento aproximado do
cervo-de-rabo-branco?
 b) Se um adulto pudesse saltar uma distncia
de 7,6 m, correspondente a 4,5 vezes sua altura, 
qual seria a altura desse adulto?

 54- Em seu restaurante, Clia prepara pratos
individuais de saladas. Ela quer criar uma
salada nova para acrescentar no cardpio.
Para preparar a nova salada, ela usar
alface, chicria, tomate-cereja, queijo esfrico
e queijo branco. Para saber o preo que vai cobrar
pela salada, Clia tem de descobrir o custo de cada 
prato de salada. Ela sabe que esses ingredientes
so usados da seguinte forma:
  2 ps de alface fazem 5 pratos de salada;
  1 p de chicria faz 4 pratos de salada;
  1 bandeja de tomate-cereja faz 3 pratos de salada;
  500 g de queijo branco fazem 6 pratos de salada;
  1 kg de queijo esfrico faz 11 pratos de salada.
<P>
 No mercado, Clia encontrou os seguintes
preos para os ingredientes:
 o alface: R$1,25 a unidade
 o chicria: R$1,56 a unidade
 o tomate-cereja: R$4,26 a bandeija
 o queijo esfrico: R$44,55 o quilograma
 o queijo branco: R$10,44 o quilograma
 a) Qual ser o valor correspondente a cada
ingrediente para preparar um prato de salada?
 b) Qual ser o custo de cada prato de salada?

Pense mais um pouco...
<R->

  Na figura a seguir, exceto para uma
linha, o produto entre os nmeros de
cada linha resulta no mesmo valor.
  Descubra qual  a linha em que o produto
 diferente. Mude um dos nmeros dessa linha para que o 
<P>
produto deles seja o mesmo dos nmeros das outras linhas.

<F->
            !:::::::: 
            l  -4   _
            r::::::::w 
                l    
     !::::j     l   !:h::::::
     l -8 _     l   l -0,15 _
     h::+::j     l   h:::::::j    
                l         
!:::::j:    !:::h::    !:h:::::
l 0,25 _    l  2  _    l  16  _
h::::::j    h:::!::j    h:+:::::j
                l        
    !:::h::     l    !::j::::
    l -32 _     l    l -0,5 _
    h:::::j     l    h+::::::j
                l    
            r::::::::w 
            l  -1   _
            h::::::::j 
<F+>

<70>
<R+>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 55- Segundo o Instituto Nacional de Pesquisas
Espaciais (Inpe), em setembro de 2008, a Floresta
Amaznica perdeu 587,3 km2 de rea, que  
aproximadamente #;e da cidade de So Paulo. 
Qual  a rea aproximada da cidade de So Paulo?

56- Calcule em seu caderno o valor das expresses:
 a) 12-5-#c
 b) #:g'-#=e-#?h-#?b
 c) -#i+#,ae-#?f-#,i 
 d) #?b-31#,b-#;c
 e) 4'#;i+-#?c#;i
 f) 5'#:d-#:d-#:h

 57- Responda em seu caderno:
 a) Qual  o oposto do inverso de -#;e?
 b) Qual  o inverso do mdulo de -#?c?
 c) Qual  o inverso do oposto de _ -2,3_ na forma de frao?
 d) Qual  o inverso do valor da expresso a seguir?
?2#,c*?#,b+#,c*

 58- Segundo a Organizao das Naes Unidas
(ONU) um brasileiro produz, em mdia,
2,6 kg de lixo eletrnico em 1 ano.
 a) Faa uma pesquisa na internet, em livros,
revistas ou jornais sobre a populao
brasileira atual e calcule a quantidade de
lixo eletrnico, em quilogramas, que essa
populao produzir em 1 ano.
 b) O elefante africano  o mais pesado dos
mamferos terrestres. Usando a resposta
do item anterior, quantos elefantes,
com cerca de 7.000 kg, seriam necessrios
para terem a mesma massa do
lixo produzido em um ano?

9. Potenciao de nmeros  
  racionais
<R->

  Voc j estudou a potenciao de nmeros inteiros com expoentes naturais, assim como a
potenciao de nmeros racionais positivos com expoentes naturais.
  Considerando o que aprendeu, vamos calcular agora potncias que tenham como base um
nmero racional qualquer (positivo, negativo ou nulo) e como expoente um nmero natural.
<R+>
  Toda potncia com expoente 0 e base diferente de zero  igual a 1. 
Exemplos:
 a) +#;e0=1
 b) -#:h0=1
 c) 0,20=1
 d) -0,2220=1

<71>
  Toda potncia com expoente 1  igual  prpria base.
Exemplos:
 a) 51=5 
 b) #:g1=#:g
 c) -#*d1=-#*d
 d) 0,51=0,5
 e) 01=0

 Toda potncia com expoente natural maior que 1  igual a um produto em que o nmero
de fatores  igual ao expoente da potncia e todos os fatores so iguais  base.
Exemplos:
 a) #;c3=#;c'#;c'#;c=
  =#"bg
 b) -#,c4=-#,c'-#,c'
  '-#,c'-#,c=+#,hd
 c) -0,23=-0,2'-0,2'
  '-0,2=-0,008

Propriedades da potenciao
<R->

  As propriedades da potenciao estudadas para os nmeros inteiros so vlidas tambm
para os nmeros racionais. Veja:
 a) -#:h3'-#:h2=
  =-#:h?3+2*=-#:h5 

  Para determinar o produto de potncias de bases
iguais, conservamos a base e somamos os expoentes.
<P>
 b) #?f6#?f2=
  =#?f?6-2*=#?f4 

  Para determinar o quociente de potncias de bases
iguais, conservamos a base e subtramos os expoentes.

 c) -0,325=
  =-0,3?2'5*=-0,310

  Para determinar a potncia de uma potncia,
conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

59- Calcule as potncias em seu caderno.
 a) #;g0
 b) #;g1
 c) -#:e2
 d) -#:e3
 e) 0,32
 f) -2,12
 g) -0,43
 h) 3,22

<72>
 60- Determine, em seu caderno, o valor da
expresso #:b-#,c2
  -#,c+#,b2.
 61- Determine no caderno o valor de P, de
acordo com o esquema a seguir.

 _`[{esquema adaptado_`]
 `(-#,b`)+`(-#,c`)=P 

 62- Reduza a uma s potncia:
 a) -#;c4'-#;c2
 b) #,b3'#,b4'#,b
 c) 0,52'0,5'0,5
 d) #,e5#,e2
 e) 2,172,16
 f) -3,44-3,4)
 g) 0,423
 h) #?g22

 63- Descubra o valor de x em cada sentena e
escreva a resposta em seu caderno.
 a) -0,2x'-0,25=
  =-0,212
 b) #;e6#;ex=#;e
 c) -4x4=-48
 d) x5'x2=-37
 e) 1,531,5x=1
 f) 2,54x=2,54
 g) -#c5'-#c'-#cx=
  =-#c10

 64- Usando uma calculadora simples, podemos
calcular a potncia 28 apertando a
seguinte sequncia de teclas:

_`[{sequncia de teclas e o resultado: 2; ; =; =; =; =; =; =; =; 256_`]

 Agora, com o auxlio de uma calculadora,
calcule em seu caderno as seguintes potncias:
 a) -0,28 
 b) #;e6
 c) 0,96
 d) 0,155
 e) #:d7
 f) 0,864

<P>
Potncia com expoente inteiro 
  negativo
<R->

  Aprendemos a realizar operaes com potncias que tm na base um nmero racional e
por expoente um nmero natural.
  Agora vamos interpretar o significado de potncias que tenham por expoente um nmero
inteiro negativo.
  Considere o quociente 5255. Pela propriedade do quociente de potncias de mesma base,
temos:
 5255=5?2-5*=5-3
  Escrevendo o quociente na forma de frao, vem:
 5255=?5'5*?5'5'5'
  '5'5*=153=1353=
  =153
  Logo:
 5-3=#,e3
<73>
  Note ainda que:
 5-3=5?3.-1*=53-1 
 5-3=153=153
 53-1=153
  Isso significa que 53-1 pode ser interpretado como o
inverso de 53 ou, ainda, que 5-3  o inverso de 53.

  A potncia com expoente negativo de um nmero racional
diferente de zero  igual a uma outra potncia que tem a base
igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto
do expoente anterior.

  Veja alguns exemplos:
 a) 3-2=132=19 ou 
  3-2= inverso de 32=
  =132=19
 b) #;c-3=#:b3=#;=h ou
  #;c-3= inverso #;c3=
  =#:b3=#;=h
 c) -5-1=-#,e1=-#,e ou 
  -5-1= inverso de -5=-#,e

OBSERVAO

  Todas as propriedades da potenciao j estudadas so vlidas
<P>
tambm para potncias com expoente inteiro negativo.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

65- Calcule as potncias em seu caderno:
 a) #:d-2
 b) -#?d-3
 c) 10-3
 d) 2-1
 e) -6-2
 f) #,i-2

66- Escreva em seu caderno na forma de potncia de base 10.
 a) 100 
 b) 1.000
 c) 10.000 
 d) 0,1 
 e) 0,01
 f) 0,001

67- Em seu caderno, reduza a uma s potncia:
 a) #;c-5'#;c2
 b) -#?d-1-#?d-6
 c) -#:b2-3
 d) -2,30-3

<74>
 68- Sabendo que a=#;c-1 e b=-#?b,
calcule o que se pede em seu caderno.
 a) a-b
 b) ab
 c) a'b2
 d) a+b2

 69- Sendo x=2-#,b-2 e y=1+#,c-1,
calcule em seu caderno x'y.
 70- Considerando m=#e-#,b-3 e
n=3+#,c2, encontre o valor de mn.

71- Com o auxlio de uma calculadora, calcule,
em seu caderno, o valor das potncias a seguir.
 a) 2-8
 b) 4-5
 c) 0,4-3
 d) 0,2-6
<P>
  O que acontece com os nmeros maiores
que zero e menores que 1 quando so elevados
a um expoente negativo? E o que acontece com
os nmeros maiores que 1?

10. Raiz quadrada de nmeros 
  racionais
<R->

  Acompanhe alguns exemplos nos quais  preciso calcular
a raiz quadrada de nmeros racionais.

Exemplo 1

  Observe o quadrado alaranjado na figura
a seguir. Considerando a rea do quadrado
maior com 1
<P>
cm2 e o comprimento de seu
lado com 1 cm, podemos dizer que:

<F->
      r::: #:e ::::w    
    !:pcccccccccccccccccccc
    l l quadrado   _        _
#:e l l alaranjado _        _
    l l            _        _
    l l            _        _ 1
    h:v------------#        _ 
      l                     _
      l                     _
      l                     _
      v---------------------#
                1
<F+>

<R+>
  a rea do quadrado alaranjado  #*be cm2;
  o comprimento do lado do quadrado alaranjado  #:e cm.
<R->
<P>
  Veja que a rea do quadrado alaranjado pode ser obtida assim:
#:e"#:e=#:e2=#*be, ou seja, #*be cm2.
  Nesse caso, o nmero #:e  chamado de raiz quadrada de #*be, que
indicamos por ?#*be*=#:e (lemos "a raiz quadrada de #*be  #:e").
  O nmero #*be  um nmero racional quadrado perfeito.

<75>
Exemplo 2

  A rea do quadrado azul da figura a seguir pode
ser obtida do seguinte modo: 0,7'0,7=0,49, ou seja, 0,49 dm2.
  Assim: 0,49=0,7.
  O nmero 0,49  um nmero racional quadrado perfeito.
<P>
<F->
       r:::: 0,7 ::::w    
     !:pccccccccccccccccccccc
     l l quadrado     _       _
     l l azul         _       _
     l l              _       _
0,7 l l              _       _
     l l              _       _
     l l              _       _
     l l              _       _ 1
     h:v--------------#       _ 
       l                      _
       l                      _
       l                      _
       v----------------------#
                  1
<F+>

  A raiz quadrada de um nmero racional quadrado perfeito  um nmero
racional positivo ou nulo cujo quadrado  o nmero dado.

  Veja mais exemplos:
<R+>
 a) #",bef=#*af
 b) 0,36=0,6
 c) #bbe=#;ae
 d) 0,01=0,1
<P>
OBSERVAES

 1. Quando queremos considerar o oposto de uma raiz quadrada, fazemos a indicao
colocando o sinal de menos  esquerda da raiz. Por exemplo:
  -#*be indica o oposto de #*be
  -0,49 indica o oposto de 0,49
 2. Todo nmero racional, quando elevado ao quadrado, resulta no nmero zero ou em
um nmero racional positivo. Logo, no existe um nmero racional que seja a raiz
quadrada de um nmero racional negativo. Por exemplo, a raiz quadrada do 
nmero -#,}}i no  um nmero racional, pois no existe nmero racional que, 
elevado ao quadrado, resulte em -#,}}i.
 3. A raiz quadrada de um nmero racional positivo ser um nmero racional somente se
esse nmero for um quadrado perfeito. Por exemplo, a raiz quadrada do nmero #;c no 
 racional, pois no existe nmero racional que, elevado ao quadrado, resulte em #;c.

<76>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 72- Calcule em seu caderno:
 a) #,d
 b) #:+di
 c) #,i
 d) -#+ajj
 e) #;?i
 f) -#*d

 73- Identifique, em seu caderno, os nmeros
cuja raiz quadrada  um nmero racional.
 a) -25
 b) #,af
 c) #:d
 d) -#,i
 e) #"aj
 f) #;?i 
<P>
 74- Sabendo que 123.904=352, calcule
mentalmente -1.239,04.
 75- Descubra a medida do lado de cada regio
quadrada representada a seguir, considerando
a rea de cada uma.

_`[{desenho de dois quadrados: o menor com rea igual a
#+di cm2 e o maior, com rea igual a 0,0009 m2_`]

Pense mais um pouco...

 1. Sendo x2=400, responda em seu caderno:
 a) Quais so os valores de x que tornam essa sentena verdadeira?
 b) Qual  o valor que x pode assumir se ele representa o 
comprimento do lado de um quadrado? 
<P>
 2. Sabendo que 4,82=23,04, responda em seu caderno:
 a) Quais so os valores de x que tornam verdadeira a igualdade x2=23,04?
 b) Qual  o valor que x pode assumir se 23,04 representa a rea de um quadrado?

11. Expresses numricas com 
  nmeros racionais
<R->

  J vimos que muitas vezes precisamos calcular o valor de expresses numricas para resolver
problemas. Vimos tambm que:
<R+>
  Quando a expresso tem sinais de associao, estes devem ser eliminados na seguinte
ordem: primeiro calculam-se as expresses entre parnteses, depois as dos colchetes e,
finalmente, as das chaves.
  As operaes devem ser efetuadas na seguinte ordem:
 a) potenciaes e radiciaes, na ordem em que aparecem;
<P>
 b) multiplicaes e divises, na ordem em que aparecem;
 c) adio e subtrao, na ordem em que aparecem.
<R->

<77>
  Vamos calcular agora o valor de algumas expresses:
<R+>
 a) `(-2)-3-#,d.
  '`[#;c-`(-1+#,b`)`]=
   =`(-#,b-#,d.
  .`[#;c-`(-1+#,b`)`]=
<R->

  Calculamos a potncia, reduzimos ao mesmo denominador a expresso entre parnteses.

<R+>
 =-#,h-#,d.#;c-`(-#;b+#,b=
<R->

  Resolvemos a expresso entre parnteses

<R+>
 =-#,h-#,d.#;c-`(-#,b`)`]=
<R->

  Calculamos a potncia

<R+>
 =-#,h-#,d.#;c-`(+#,d`)`]=
<R->

  Eliminamos os parnteses

<R+>
 =-#,h-#,d.`[#;c-#,d`]=
<R->

  Reduzimos ao mesmo denominador a expresso entre colchetes

<R+>
 =-#,h-#,d.`[#"ab-#:ab`]=
<R->

  Efetuamos a expresso entre colchetes

<R+>
 =-#,h-#,d.#?ab=
<R->

  Efetuamos a multiplicao

<R+>
 =-#,h-#?dh=
<R->

  Reduzimos ao mesmo denominador e efetuamos a operao

<R+>
 =-#!dh-#?dh=-#,,dh

<P>
b) -#:g'0,36+#,b#,*+ha=
<R->

  Expressamos 0,36 na forma de frao
e calculamos a raiz quadrada de #,*+ha

 =-#:g'#:+ajj+#,b#,i=

  Calculamos a raiz quadrada de #:+ajj e efetuamos a diviso

 =-#:g'#+aj+#,b.#,i=

  Efetuamos as multiplicaes

 =-#,"gj+#*bh=
 
  Reduzimos ao mesmo denominador e efetuamos a operao

 =-#:+adj+#?adj=#*adj

<R+>
<78>
<P>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 76- Considere as expresses a seguir.
 A=#,b-1+#,b2'2-#;c e 
 B=#?g2-#;c+3
 Determine em seu caderno o produto A'B.
O que se pode concluir sobre os valores de A e de B?
 77- Escreva em seu caderno, na forma decimal,
o nmero que representa o valor da expresso:
 -1+#,e20,4-#,e2-0,7'
  '#:+di
 78- Verifique que as seguintes igualdades so
verdadeiras.
 #,a'#,b=#,b
 #,a'#,b+#,b+#,c=#;c
 #,a'#,b+#,b+#,c+#,c'#,d=#:d
 Observando essas igualdades, determine
mentalmente o valor da expresso a seguir.
Verifique, em seguida, se seu resultado est
correto, efetuando os clculos.
 #,a'#,b+#,b+#,c+#,c'#,d+#,d=#,e

<R+>
 79- Escreva a alternativa correta em seu caderno.
(UPF-RS) O valor da expresso -#,b4-#,b3'
  '-#,b6+2-7 :
 a) -2 
 b) -1 
 c) 0
 d) #,b

 80- Responda  questo em seu caderno.
(Unifor-CE) Qual  o valor de x a seguir?
  x=#,b-0,8+#:d-#,d
 a) #,*bj
 b) -#,bj
 c) -#,aj
 d) -#,*aj

Pense mais um pouco...
<R->

  Determine o valor de cada letra do esquema a seguir. 
Escreva as respostas em seu caderno.
<P>
<R+>
 _`[{esquema adaptado_`]
 -#;e"A=-#"ae
 #,e#:b=Q
 M-`(-#,b`)=#:aj
 -#"ae-Q=-#,}ae
 Q+#:aj=G
 -#,}aeG=R
 _`[{fim do esquema_`]

<79>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES
 
 81- Escreva em seu caderno na forma de potncia
com expoente inteiro negativo:
 a) 1102
 b) #,af
 c) -#,be 
 d) #,abe
 e) #,ae
 f) -#,ajj

 82- Reduza a uma s potncia:
 -#,b2-3-#,b'
  '-#,b5'-#,b-3
<P>
 83- Considere as expresses:
 A=-#,b+#;c'2-#,d
 B=-2+#,c#;c-3
 Calcule, em seu caderno, o valor de A'B.

 84- Copie a afirmao correta em seu caderno.
O valor da expresso 3-1'3-515  um nmero racional:
 a) maior que -1 e menor que zero.
 b) maior que zero e menor que 1.
 c) menor que zero.
 d) maior que 1.

 85- Sabendo que x=#,c5'
  '#,c-3'#,c8#,c9, 
calcule em seu caderno o valor de x3.
 86- A letra *a* representa o nmero racional
0,04. Determine, em seu caderno, os valores
de a, 5a e 2aa.
<P>
 87- Resolva as expresses de cada carto
a seguir em seu caderno.

 _`[{quatro cartes descritos a seguir_`]
 Amarelo: `(#,d`)-1
 Azul: `(-#;c`)`(#;bg`)
 Verde: -2.#*af.#;?i
 Vermelho: -#:!ajj

 Identifique cada sentena a seguir com a
cor do carto correspondente.
 I. O mesmo que -#,c-2
 II. O dobro de 2.
 III. Um nmero entre -3 e -2.
 IV. O mesmo que -0,6.

 88- Mrio calculou o valor desta expresso: #:b-#,b2'
'#:d-#,b2 e Paulo, o valor desta: #,b-1+#,b2'-#,g.
 Podemos afirmar que o valor que Paulo encontrou 
igual  raiz quadrada do valor que Mrio encontrou?

<80>
<R+>
DIVERSIFICANDO
 
Treinando Mais

 1. Os *icebergs* so grandes massas de gua no estado slido que se deslocam seguindo
as correntes martimas no oceano. O que vemos fora da gua  uma pequena
parte do iceberg, que em geral corresponde a #,aj de seu volume.
Represente em seu caderno, na forma de frao, qual  a poro do iceberg que
fica dentro da gua.
 2. O professor escreveu no quadro-de-giz parte de uma matria de jornal com algumas
informaes. Em seguida, ele pediu aos alunos que destacassem todos os nmeros que
encontrassem na matria e os classificassem como naturais, inteiros ou racionais.
<P>
 Veja a classificao de dois dos alunos:
 Bruno:
  Naturais: 1, 2, 7 e 9
  Inteiros: -3
  Racionais: #,d e #,b
 Telma:
  Naturais: 1, 2, 7 e 9
  Inteiros: -3, 1, 2, 7 e 9
  Racionais: -3, #,d, #,b, 1, 2, 7 e 9
 Ao analisar as classificaes feitas por esses alunos, percebe-se
que existem algumas diferenas entre elas. Qual das duas 
classificaes est errada? Justifique sua resposta.
 3. Gabriela, Eduardo e Mauro compraram um pote de sorvete. 
Gabriela tomou #,e do sorvete. Do que sobrou, Eduardo tomou
#,d e, logo depois, Mauro tomou #,b. Ao final, restaram apenas 300 mL
de sorvete. Quantos mililitros de sorvete havia ini-
<P>
  cialmente no pote? Explique com suas palavras como resolveu esse exerccio.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte
